已知定义在[-2,2]上的函数y=f(x)和y=g(x),其图象如图所示:给出下列四个命题:
①方程f[g(x)]=0有且仅有6个根
②方程g[f(x)]=0有且仅有3个根
③方程f[f(x)]=0有且仅有5个根
④方程g[g(x)]=0有且仅有4个根 其中正确命题的序号( )
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④
snowfairy丽 精英
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①由于满足方程f[g(x)]=0 的g(x)有三个不同值,由于每个值g(x)对应了2个x值, 故满足f[g(x)]=0的x值有6个,即方程f[g(x)]=0有且仅有6个根,故①正确.
②由于满足方程g[f(x)]=0的f(x)有2个不同的值,从图中可知,每一个值f(x), 一个f(x)的值在(-2,-1)上,令一个f(x)的值在(0,1)上. 当f(x)的值在(-2,-1)上时,原方程有一个解;f(x)的值在(0,1)上,原方程有3个解. 故满足方程g[f(x)]=0的x值有4个,故②不正确.
③由于满足方程f[f(x)]=0的f(x)有3个不同的值,从图中可知,一个f(x)等于0, 一个f(x)∈(-2,-1),一个f(x)∈(1,2). 而当f(x)=0对应了3个不同的x值;当f(x)∈(-2,-1)时,只对应一个x值; 当f(x)∈(1,2)时,也只对应一个x值. 故满足方程f[f(x)]=0的x值共有5个,故③正确.
④由于满足方程g[g(x)]=0 的g(x)值有2个,而结合图象可得,每个g(x)值对应2个不同的x值, 故满足方程g[g(x)]=0 的x值有4个,即方程g[g(x)]=0有且仅有4个根,故④正确.
故选 D.
1年前
你能帮帮他们吗