△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，求证B＜π2

证明：方法一：已知[1/a+
1
c＝
2
b]．
得b＝
2ac
a+c，
a2+c2−b2＝a2+c2−(
2ac
a+c)2≥2ac−
4a2c2
(a+c)2=2ac(1−
2ac
(a+c)2)≥2ac(1−
2ac
4ac)＞0．
即cosB=
a2+c2−b2
2ac＞0
故B＜
π
2
法2：反证法：假设B≥
π
2．
则有b＞a＞0，b＞c＞0．
则[1/b＜
1
a，
1
b＜
1
c]
可得[2/b＜
1
a+
1
c]与已知矛盾，
假设不成立，原命题正确．

点评：
本题考点： 不等式的证明．

考点点评： 方法一； 使用余弦定理，方法二，使用反证法，方法二比较简单．

1年前

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