利用函数的幂级数展开式求.1.lnx/(1+x)在0到1上的不定积分.2.ln(1+x)／x 在0到1上的不定积分.最好

2.在x从 0到1上,ln(1+x)=x-(1/2)x^2 + (1/3)x^3 - (1/4)x^4+...
[ln(1+x)]/x=1-(1/2)x + (1/3)x^2 - (1/4)x^3+...
∫{[ln(1+x)]/x}dx=∫{1-(1/2)x + (1/3)x^2 - (1/4)x^3+...}dx=x-(1/4)x^2+(1/9)x^3-(1/16)x^4+...--------(1)
1.设y=1+x,lnx/(1+x)=ln(y-1)/y,在x从0到1上,即在y从1到2上,
ln(y+1)-ln(y-1)=2[(y^(-1)+(1/3)y^(-3)+(1/5)y^(-5)+...]
ln(y-1)=ln(y+1)-2[(y^(-1)+(1/3)y^(-3)+(1/5)y^(-5)+...]
[ln(y-1)]/y=[ln(y+1)]/y-2[(y^(-2)+(1/3)y^(-4)+(1/5)y^(-6)+...]
∫{[ln(y-1)]/y}dy=∫{[ln(y+1)]/y}dy-∫{2[(y^(-2)+(1/3)y^(-4)+(1/5)y^(-6)+...]}dy
从题2,(1)可知 ∫{[ln(y+1)]/y}dy
∫{[ln(y-1)]/y}dy=∫{[ln(y+1)]/y}dy-2{-y^(-1)-(1/9)y^(-3)-(1/25)y^(-5)-...}
=y-(1/4)y^2+(1/9)y^3-(1/16)y^4+...-2{-y^(-1)-(1/9)y^(-3)-(1/25)y^(-5)-...}
x=y-1,y=1+x,
∫{[ln(x)]/(1+x)}dx=1+x-(1/4)(1+x)^2+(1/9)(1+x)^3-(1/16)(1+x)^4+...+2{(1+x)^(-1)+(1/9)(1+x)^(-3)+(1/25)(1+x)^(-5)-...}

可以用公式求不，你的是高中还是大学的数学？

这都是定积分.
1. ∫{0,1} ln(x)/(1+x) dx 其实是个瑕积分, 按定义是lim{ε→0+} ∫{ε,1} ln(x)/(1+x) dx.
由分部积分公式, ∫{ε,1} ln(x)/(1+x) dx = ln(1)ln(2)-ln(ε)ln(1+ε)-∫{ε,1} ln(1+x)/x dx.
当ε→0+, ln(1)ln(2)-ln(ε)ln(1+ε) ...

lnx/(1+x)=ln(1+x-1)/(1+x)=ln[1-1/(1+x)]=(-∞,ln1/2)