如图，椭圆C： （a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）。 （1）求椭圆C的方程；

如图，椭圆C： （a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）。

（1）求椭圆C的方程；
（2）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M。
（i）求证：点M恒在椭圆C上；
（ii）求△AMN面积的最大值。
（1）由题设a=2，c=1，从而b ² =a ² -c ² =3，
所以椭圆C的方程为 ；
（2）（i）由题意得F（1，0），N（4，0）
设A（m，n），则B（m，-n）（n≠0）， =1 ①
AF与BN的方程分别为：n（x-1）-（m-1）y=0，
n（x-4）-（m-4）y=0
设M（x ₀ ，y ₀ ），则有n（x ₀ -1）-（m-1）y ₀ =0，②
n（x ₀ -4）+（m-4）y ₀ =0，③
由②，③得
x ₀ = ，
由于



=1
所以点M恒在椭圆G上。
（ii）设AM的方程为x=ty+1，代入 =1得（3t ² +4）y ² +6ty-9=0
设设A（x ₁ ，y ₁ ），M（x ₂ ，y ₂ ），则有
y ₁ +y ₂ = ，
|y ₁ -y ₂ |=
令3t ² +4=λ（λ≥4），
则|y ₁ -y ₂ |=
∵λ≥4，
∴当 ，即 时
|y ₁ -y ₂ |有最大值3，此时AM过点F
△AMN的面积S _△AMN = 有最大值 。