设f（x）=3ax 2 +2bx+c（a≠0），若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，求证：

（1）∵a≠0，a+b+c=0，a+c=-b，
∴△=4b ² -12ac=4（a+c） ² -12ac= 4[
3
4 a 2 +(
1
2 a- c) 2 ] ＞0
f（x）=3ax ² +2bx+c=0有实数根，--（4分）
（2）由f（0）f（1）＞0，得c（3a+2b+c）＞0
∵a+b+c=0，
∴c=-（a+b），
∴-（a+b）•（2a+b）＞0，
∴ - a 2 (1+
b
a )(2+
b
a ) ＞0，
∴ (1+
b
a )(2+
b
a )＜0
解得-2＜
b
a ＜-1----------（9分）
（3）∵x ₁ ，x ₂ 是方程f（x）=0的两个实数根，
∴ x 1 + x 2 =-
2b
3a ， x 1 • x 2 =
c
3a =-
a+b
3a
∴ ( x 1 - x 2 ) 2 = (x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 • x 2
=
4 b 2
9 a 2 -4（ -
a+b
3a ）
=
4
9 (
b
a +
3
2 ) 2 +
1
3
∵-2＜
b
a ＜-1
∴
1
3 ＜ ( x 1 - x 2 ) 2 ＜
4
9
∴

3
3 ≤|x ₁ -x ₂ | ＜
2
3 ．--------（15分）