如图,ABCD为圆内接四边形,过AB上一点M,引MP,MQ,MR分别垂直于BC,CD,AD,连接PR,MQ相交于N,求证

如图,ABCD为圆内接四边形,过AB上一点M,引MP,MQ,MR分别垂直于BC,CD,AD,连接PR,MQ相交于N,求证:[PN/NR=
BM
MA].
CACWJason 1年前 已收到1个回答 举报

lafewants 幼苗

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解题思路:先根据A、B、C、D四点共圆,可得出M、R、D、Q四点共圆,M、P、C、Q四点共圆,再在△RMN及△PMN中利用余弦定理即可得出PN、NR、BM、MA的关系式,进而可得出结论.

证明:∵A、B、C、D四点共圆,
∴∠RAM=180°-∠C,∠PBM=180°-∠D(圆内接四边形的对角互补)
∵MR⊥AD、MQ⊥CD,
∴M、R、D、Q四点共圆,
∴∠RMN=180°-∠D;
∵MP⊥BC、MQ⊥CD,
∴M、P、C、Q四点共圆,
∴∠PMN=180°-∠C,
△RMN中使用正弦定理:[RN/sin∠RMN]=[RM/sin∠RNM]
△PMN中使用正弦定理:[PN/sin∠PMN]=[PM/sin∠PNM]
∵sin∠RNM=sin∠PNM,
∴[PN/RN]=[PM×sin∠PMN/RM×sin∠RMN]=[PM×sin∠C/RM×sin∠D]
∴PM=MB×sin∠PBM=MB×sin∠D,RM=MA×sin∠RAM=MA×sin∠C,
∴[PN/RN]=[PMsin∠C/RM×sin∠D]=[MB×sin∠D×sin∠C/MA×sin∠C×sin∠D]=[MB/MA],
∴[PN/NR=
BM
MA].

点评:
本题考点: 四点共圆;相似三角形的判定与性质.

考点点评: 本题考查的是四点共圆问题、余弦及正弦定理,难度较大.

1年前

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