已知圆C：(x+3)2+y2＝16，点A(3，0)，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E．
已知圆C：(x+
)2+y2＝16，点A(
，0)，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，D，F分别为曲线E与x轴的左，右两交点，若直线DP与曲线E相交于异于D的点N，证明△NPF为钝角三角形．
| 3 |
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（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，D，F分别为曲线E与x轴的左，右两交点，若直线DP与曲线E相交于异于D的点N，证明△NPF为钝角三角形．
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解题思路：（Ⅰ）先根据椭圆的定义，确定轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，再写出椭圆的方程；
（Ⅱ）直线DP的方程与椭圆方程联立，确定N的坐标，求出
，
，利用其数量积小于0，即可得到结论．
（Ⅱ）直线DP的方程与椭圆方程联立，确定N的坐标，求出
| FN |
| FP |
（Ⅰ）由题意得|MC|+|MA|＝|MC|+|MQ|＝|CQ|＝4＞2
3
∴轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆…（2分）
∴轨迹E的方程为
x2
4+y2＝1…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知D（-2，0），F（2，0），设P（4，t）（t≠0），N（xN，yN）
则直线DP的方程为y＝
t
6(x+2)…（6分）
由
y＝
t
6(x+2)
x2+4y2＝4得（9+t2）x2+4t2x+4t2-36=0
∵直线DP与椭圆相交于异于D的点N
∴−2+xN＝
−4t2
9+t2，∴xN＝
−2t2+18
9+t2
由yN＝
t
6(xN+2)得yN＝
6t
9+t2…（8分）
∴
FN＝(−
4t2
9+t2，
6t
9+t2)，
点评：
本题考点： 直线和圆的方程的应用；轨迹方程．
考点点评： 本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
1年前
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