（2008•海珠区一模）如图1所示，一张半圆形纸片，直径AB=10，点C是半圆上的一个动点．沿半径CO把这张纸片剪出△A
（2008•海珠区一模）如图1所示，一张半圆形纸片，直径AB=10，点C是半圆上的一个动点．沿半径CO把这张纸片剪出△AC1O1和△BC2O2两个三角形（如图2所示）．将纸片△AC1O1沿直线O2B（AB）方向平移（点A，O1，O2，B始终在同一直线上），当点O1与点B重合时，停止平移．在平移过程中，C1O1与BC2交于点E，AC1与C2O2，BC2分别交于点F、P．
（1）当△AC1O1平移到如图3所示的位置时，猜想图中的O1E与O2F的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若∠CAB=30°，设平移距离O1O2为x，△AC1O1与△BC2O2重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x的值，使重叠部分的面积等于原△ABC面积的[1/4]．若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．
（1）当△AC1O1平移到如图3所示的位置时，猜想图中的O1E与O2F的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若∠CAB=30°，设平移距离O1O2为x，△AC1O1与△BC2O2重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x的值，使重叠部分的面积等于原△ABC面积的[1/4]．若存在，求x的值；若不存在，请说明理由．
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解题思路：（1）根据平移的性质，得O1B=O2A，再根据平行线等分线段定理即可证明；
（2）根据30°直角三角形的性质、相似三角形的性质进行求解；
（3）在（2）的基础上解一元二次方程即可．
（2）根据30°直角三角形的性质、相似三角形的性质进行求解；
（3）在（2）的基础上解一元二次方程即可．
（1）O1E=O2F．理由如下：
∵O1E∥O2C2，
∴
O1E
O2C2＝
O1B
O2B，
同理
O2F
O1C1＝
O2A
O1A，
根据平移的性质，知O1B=O2A，
∴O1E=O2F．
（2）∵AB是直径，
∴∠C=90°，
∴∠B=90°-30°=60°，
∴∠APB=90°．
在直角三角形APB中，AB=10-x，
则BP=[1/2]AB=5-[1/2]x，
则AP=5
3-
3
2x．
则直角三角形APB的面积是
3
8x2−
5
3
2x+
25
2
3．
∵O1E∥O2C2
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；圆周角定理；平移的性质；解直角三角形．
考点点评： 此题综合考查了相似三角形的判定及性质、圆周角定理、平移的性质以及三角形的面积公式，难度较大．
在求不规则图形的面积时，要哪个转化为规则图形的面积．
1年前
10
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