函数y=lnx关于直线x=1对称的函数为f（x），又函数y＝12ax2+1(a＞0)的导函数为g（x），记h（x）=f（

解题思路：（1）先求过（1，h（1））点的切线方程，根据l与圆（x+1）²+y²=1相切，利用点线距离等于半径可求a的值；
（2）先求导函数，结合函数的定义域，利用导数大于0的函数的单调增区间，导数小于0得函数的单调减区间
（3）根据（2）中函数的单调区间，结合区间[0，1]进行分类讨论，从而可求h（x）的最大值．

（1）由题意得f（x）=ln（2-x），g（x）=ax，
∴h（x）=ln（2-x）+ax．
∴h′(x)＝a+
1
x−2，过（1，h（1））点的直线的斜率为a-1，
∴过（1，h（1））点的直线方程为y-a=（a-1）（x-1）．
又已知圆心为（-1，0），半径为1，
由题意得
|1−a+1|

(a−1)2+1＝1，解得a=1．
（2）h′(x)＝
ax−2a+1
x−2＝a[x−(2−
1
a)]•
1
x−2，x∈(−∞，2)．
∵a＞0，∴2−
1
a＜2．
令h′（x）＞0，∴x＜2−
1
a；
令h′（x）＜0，∴2−
1
a＜x＜2，
所以，(−∞，2−
1
a)是h（x）的增区间，(2−
1
a，2)是h（x）的减区间．
（3）①当2−
1
a≤0，即0＜a≤
1
2时，h（x）在[0，1]上是减函数，
∴h（x）的最大值为h（0）=ln2．
②当0＜2−
1
a＜ 1，即[1/2＜a＜ 1时，，h（x）在(0，2−
1
a)上是增函数，在(2−
1
a，1)上是减函数，
∴当x＝2−
1
a]时，h（x）的最大值为h(2−
1
a)＝2a−1−lna．
③当2−
1
a≥1，即a≥1时，h（x）在[0，1]上是增函数，
∴h（x）的最大值为h（1）=a．
综上，当0＜a≤
1
2时，h（x）的最大值为ln2；
当
1
2＜a＜1时，h（x）的最大值为2a-1-lna；
当a≥1时，h（x）的最大值为a．

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间与最值，分类讨论是解题的关键与难点．