He insisted that he was really very tired and that he should

并不是说insist that+(should)+动词原形是固定搭配.
要看insist在句子中是什么意思.
如果是“坚持说”的意思,那么后面的宾语从句不虚拟,即不用（should）+动词原形.
如果是“坚持要求”的意思,那么后面的宾语从句就要虚拟.
在这一句中,insist有两个意思.
He insisted that he was really very tired中insist是“坚持说”的意思,即“他坚持说他很累”,所以不用should+动词原形.
然而,在 that he should be allowed to have a rest.中insist是“坚持要求”的意思,即“他坚持要求他应该被允许休息”,此时宾语从句需虚拟,即加should（可省略）+动词原形的虚拟形式.
希望对你有所帮助

不可以, insisted that +should(would)从句是固定搭配. 不能用别的词.

这里主要考察insist引导宾语从句时候的两种不同用法
1作；‘坚持宣称’时宾语从句用陈述语气
2作‘坚决要求’时宾语从句用虚拟语气，即谓语动词用（should ）do，不能用别的情态动词。

不可以
must语气强硬
should语气委婉
而且固定搭配
休息是在于个人意愿而不能强迫别人去休息

“应该”语气较委婉