关于x的方程2cos2x-sinx+a=0在区间[0,[7π/6]]上恰好有两个不等实根,则实数a的取值范围是_____

关于x的方程2cos2x-sinx+a=0在区间[0,[7π/6]]上恰好有两个不等实根,则实数a的取值范围是______.
哈雷彗星 1年前 已收到1个回答 我来回答 举报

jyb2006 幼苗

共回答了20个问题采纳率:85% 向TA提问 举报

解题思路:令t=sinx,当x∈[π,[7π/6]]时,x与t一一对应,由题意可得直线y=a和曲线y=2t2+t-2在[-[1/2],1]上有两个交点,由此求得a的范围. 当x∈(0,π),且x≠[π/2]时,有2个x与一个t值对应,直线y=a和曲线y=2t2+t-2在[-[1/2],1)上有一个交点,结合图象求出实数a的取值范围. 再把以上2个a的取值范围取并集,即得所求.

由题意,方程可变为a=-2cos2x+sinx,令t=sinx,
由0<x≤[7π/6],可得 t∈[-[1/2],1].
①当x∈[π,[7π/6]]时,t∈[-[1/2],0],此时,x与t一一对应.
由题意可得,关于t的方程a=2t2+t-2,当t∈[-[1/2],0]应有2个实数根,
即直线y=a和函数y=2t2+t-2,当t∈[-[1/2],0]应有2个交点.
当t=-[1/4]时,y=2t2+t-2有最小值-[17/8]. 当t=-[1/2] 或0时,a=2t2+t-2=-2.
此时,应有 a∈(-[17/8],-2].
但当a=-2时,t=-[1/2] 或0,在区间[0,[7π/6]]上,对应x=0 或π或[7π/6],
关于x的方程2cos2x-sinx+a=0在区间[0,[7π/6]]上有3个实数根,
故不满足条件,应舍去,故 a∈(-[17/8],-2).
②当x∈(0,π),且x≠[π/2]时,有2个x与一个t值对应.
故由题意可得,关于t的方程a=2t2+t-2,当t∈(0,1)有一个实数根,
即直线y=a和曲线y=2t2+t-2在(0,1)上有一个交点,如图所示:
此时,a∈(-2,1).
综上可得,实数a的取值范围是 (-[17/8],-2)∪(-2,1),
故答案为 (-[17/8],-2)∪(-2,1).

点评:
本题考点: 根的存在性及根的个数判断.

考点点评: 本题的考点是复合函数的单调性,考查根据复合三角函数的单调性求值域,本题求参数范围的题转化为求函数的值域是解此类题的常用技巧,属于中档题.

1年前

1
可能相似的问题
Copyright © 2021 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 16 q. 0.009 s. - webmaster@yulucn.com