这个关于极限定理的证明为什么证的这么麻烦

这个关于极限定理的证明为什么证的这么麻烦
lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B 其中limf(x)=A limg(x)=B B≠0
证 由limf(x)=A limg(x)=B 有f(x)=A+αg(x)=B+β其中α及β为无穷小 设γ=f(x)/g(x)-A/B 则γ=(A+α)/(B+β)-A/B=1/(B*(B+β))*(Bα-Aβ)
上式表示 γ可看作两个函数的乘积 其中函数Bα-Aβ是无穷小 下面我们证明另一个函数1/(B*(B+β))在点x0的某一邻域内有界
根据第三节定理3'(如果lim(x→x0)f(x)=A(A!=0) 那么就存在着x0的某一去心邻域U零(x0) 当x属于U零(x0)时 就有|f(x)|>|A|/2) 由于limg(x)=B≠0 存在着点x0的某一去心邻域U(x0)(其中 U上面有个小圆圈 不过打不出来 就不打了) 当x属于U(x0)时 |g(x)|>|B|/2 从而|1/g(x)|