求定积分1.∫x/(x^2+1)dx 上限1下限02.∫e^x/(1+e^x)dx上限1下限03.∫e^(x/2)dx上

求定积分
1.∫x/(x^2+1)dx
上限1下限0
2.∫e^x/(1+e^x)dx
上限1下限0
3.∫e^(x/2)dx
上限2下限0
4.∫根号(x-1)/xdx
上限5下限1
5.∫[(sin^3)x+2x^3+x^4]dx
上限2下限-2
6.∫xe^-xdx
上限1下限0
7.∫xcosxdx
上限π/2下限0
8.∫lnxdx
上限e下限1
判断下列广义积分是否收敛,若收敛,求出其值
1.∫1/(xlnx)dx
上限+∞下限e
2.∫xe^-x^2dx
上限+∞下限0
3.∫x/(1+x^2)dx
上限+∞下限0
求下列各平面图形的面积
1.曲线y=x^2与y=2-x^2所围成的图形
2.曲线y=x^3与直线x=0,y=1所围成的图形
3.在区间[0,π/2]上由曲线y=sinx与直线x=0,y=1所围成的图形
求具体详细的过程
慢慢孤独路 1年前 已收到2个回答 举报

俺是绵羊 幼苗

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求定积分
1.原式=1/2∫(0,1)d(x²+1)/(x²+1)=[1/2ln(x²+1)]│(0,1)=1/2(ln2-ln1)=ln2/2
2.原式=∫(0,1)d(1+e^x)/(1+e^x)=[ln(1+e^x)]│(0,1)=ln(1+e)-ln2=ln[(1+e)/2]
3.原式=2∫(0,2)e^(x/2)d(x/2)=[2e^(x/2)]│(0,2)=2(e-1)
4.原式=2∫(0,2)[1-1/(1+t²)]dt (设√(x-1)=t)
=[2(t-arctant)]│(0,2)=2(2-arctan2)
5.原式=∫(-2,2)(cos²x-1)d(cosx)+∫(-2,2)(2x³+x^4)dx
=(cos³x-cosx+x^4/2+x^5/5)│(-2,2)
=cos³2-cos2+8+32/5-cos³(-2)+cos(-2)-8-(-32/5)=64/5
6.原式=[-xe^(-x)]│(0,1)+∫(0,1)e^(-x)dx (应用分部积分法)
= -1/e-[e^(-x)]│(0,1)=-1/e-[1/e-1]=1-2/e
7.原式=(xsinx)│(0,π/2)-∫(0,π/2)sinxdx (应用分部积分法)
=π/2+(cosx)│(0,π/2)=π/2+0-1=π/2-1
8.原式=(xlnx)│(1,e)-∫(1,e)dx (应用分部积分法)
=e-(x)│(1,e)=e-(e-1)=1
判断下列广义积分是否收敛,若收敛,求出其值
1.∵∫(e,+∞)1/(xlnx)dx=∫(e,+∞)d(lnx)/(lnx)
=[ln(lnx)]│(e,+∞)=lim(t->+∞)[ln(lnt)]=+∞
∴广义积分∫(e,+∞)1/(xlnx)dx发散
2.∵∫(0,+∞)[xe^(-x²)]dx=-1/2∫(0,+∞)e^(-x²)d(-x²)
=[-1/2e^(-x²)]│(0,+∞)=lim(t->+∞){[1-e^(-t²)]/2}=1/2
∴广义积分收敛,且∫(0,+∞)[xe^(-x²)]dx=1/2
3.∵∫(0,+∞)x/(1+x^2)dx=1/2∫(0,+∞)d(1+x²)/(1+x²)dx
=[1/2ln(1+x²)]│(0,+∞)=lim(t->+∞)[1/2ln(1+t²)]=+∞
∴广义积分∫(0,+∞)x/(1+x^2)dx发散
求下列各平面图形的面积
1.所求面积=2∫(0,1)(2-x²-x²)dx=4∫(0,1)(1-x²)dx=4(x-x³/3)│(0,1)=4(1-1/3)=8/3
2.所求面积=∫(0,1)(1-x³)dx=(x-x^4/4)│(0,1)=1-1/4=3/4
3.所求面积=∫(0,π/2)(1-sinx)dx=(x+cosx)│(0,π/2)=π/2+0-0-1=π/2-1

1年前

2

liuxfu 幼苗

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答:
1.原式=∫0到1 x/(x^2+1)dx = [ln(x^2+1)]/2 |0到1 = ln2/2
2.原式=∫0到1 e^x/(1+e^x)dx = ln(1+e^x)|0到1 =ln(1+e)-ln2= ln[(1+e)/2]
3.原式=∫0到2 e^(x/2)dx = 2e^(x/2)|0到2 = 2(e-1)
4.原式=∫1到5 √(x-1)/xdx...

1年前

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