(2013•虹口区一模)在正四棱锥P-ABCD中,侧棱PA的长为25,PA与CD所成的角的大小等于arccos105.

(2013•虹口区一模)在正四棱锥P-ABCD中,侧棱PA的长为2
5
,PA与CD所成的角的大小等于arccos
10
5

(1)求正四棱锥P-ABCD的体积;
(2)若正四棱锥P-ABCD的五个顶点都在球O的表面上,求此球O的半径.
drees 1年前 已收到1个回答 举报

coco1025 花朵

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解题思路:(1)取AB的中点M,记正方形ABCD对角线的交点为O',连PM,PO',AC,则AC过O'.求出四棱锥的底面面积,与高,即可求正四棱锥P-ABCD的体积;
(2)正四棱锥P-ABCD的五个顶点都在球O的表面上,连AO,OO',设球的半径为R,通过解直角三角形,求此球O的半径.

(1)取AB的中点M,记正方形ABCD对角线的交点为O',连PM,PO',AC,则AC过O'.
∵PA=PB,∴PM⊥AB,又cos∠PAM=

10
5,PA=2
5,得AM=2
2.…(4分)
AO'=4,PO'=2,VP−ABCD=
1
3S底•PO′=
1
3•(4
2)2•2=
64
3
∴正四棱锥P-ABCD的体积等于[64/3](立方单位).…(8分)
(2)连AO,OO',设球的半径为R,则OA=R,OO'=R-PO'=R-2,在Rt△OO'A中有R2=(R-2)2+42,得R=5.…(12分)

点评:
本题考点: 球内接多面体;棱柱、棱锥、棱台的体积.

考点点评: 本题考查球的内接多面体,球的半径以及几何体的体积,考查计算能力与空间想象能力.

1年前

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