alminnie
幼苗
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解题思路:(Ⅰ)因为E,O分别为PA,AC的中点,所以EO∥PC.由此能够证明PC∥平面BDE.
(Ⅱ)连接OP,因为PB=PD,所以OP⊥BD.在菱形ABCD中,BD⊥AC,又因为OP∩AC=O,所以BD⊥平面PAC.又PH⊂平面PAC,所以BD⊥PH.由此能够证明PH⊥平面ABCD.
(Ⅲ)过点O作OZ∥PH,所以OZ⊥平面ABCD.以O为原点,OA,OB,OZ所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.得
=(−,1,0),
=(−,0,),
=(,0,).设
=(x,y,z)是平面PAB的一个法向量,由
,得
=(1,,).由此能求出直线CE与平面PAB所成角的正弦值.
(Ⅰ)证明:因为E,O分别为PA,AC的中点,
所以EO∥PC
又EO⊂平面BDE,PC⊄平面BDE.
所以PC∥平面BDE.
(Ⅱ)证明:连接OP,
因为PB=PD,
所以OP⊥BD.
在菱形ABCD中,BD⊥AC,
又因为OP∩AC=O,所以BD⊥平面PAC.
又PH⊂平面PAC,所以BD⊥PH.
在直角三角形POB中,OB=1,PB=2,所以OP=
3.
又PC=
3,H为OC的中点,所以PH⊥OC.
又因为BD∩OC=O
所以PH⊥平面ABCD.
(Ⅲ)过点O作OZ∥PH,所以OZ⊥平面ABCD.
如图,以O为原点,OA,OB,OZ所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.
可得,A(
3,0,0),B(0,1,0),C(−
3,0,0),
P(−
3
2,0,
3
2),E(
3
4,0,
3
4).
所以
AB=(−
点评:
本题考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定.
考点点评: 本题考查直线和平面平行、直线和平面垂直的证明方法和求直线与平面在所成角的正弦值.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
1年前
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