已知函数f（x）=kxlnx，k∈R．

（1）由题意知函数定义域为（0，+∞），f′（x）=k（1+lnx）；
当k=0时，f（x）=0，所以函数无单调区间；
当k＞0时，令f′（x）=k（1+lnx）＞0，则x＞
1
e ，所以函数f（x）在（0，
1
e ]上单调递减，在[
1
e ，+∞）上单调递增；
当k＜0时，令f′（x）=k（1+lnx）＞0，则0＜x＜
1
e ，所以函数f（x）在（0，
1
e ]上单调递增，在[
1
e ，+∞）上单调递减；
（2）因为 g(x)=
f(x)-kx
e x ，所以g′（x）=
k(lnx+x-xlnx)
e x
令u（x）=lnx+x-xlnx，所以u′（x）=
1
x -lnx
∵x∈[e，3]，∴lnx≥1，
1
x ≤
1
e ＜1 ，∴u′（x）＜0，即u（x）为减函数，可得u（x） _min =u（3）=3-3ln3=ln
e 3
9 ＞0
∴x∈[e，3]时，lnx+x-xlnx＞0
当k＞0时，g′（x）＞0，可得g（x）在x∈[e，3]时为增函数，g（x） _max =g（3）=
1
e 2 ，所以k=
e
3(ln3-1) ；
当k=0时，g（x）的最大值是0，不合题意；
当k＜0时，g′（x）＜0，g（x）在x∈[e，3]上为减函数，g（x）的最大值是0，不合题意
故当函数g（x）的最大值为
1
e 2 时，k的值为
e
3(ln3-1) ．