卯酉圈曲率半径公式推导概述
在地球椭球体的大地测量学中，卯酉圈是指过某点且与该点子午圈垂直的法截面与椭球面的交线。其曲率半径（通常记为N）是进行大地坐标换算、距离计算等工作的关键参数。其公式为 N = a / √(1 - e² sin²B)，其中a为椭球长半轴，e为第一偏心率，B为计算点的大地纬度。下面将详细解释其推导的核心思路。
推导步骤与几何解释
推导始于旋转椭球面的方程：x²/a² + y²/a² + z²/b² = 1，其中b为短半轴。过椭球面上一点P(B, L)作平行圈（纬圈）的切线，卯酉圈截面垂直于该切线。利用曲率半径的一般公式（梅尼定理）及椭球面法线的性质，可以求出该法截弧的曲率半径。关键步骤在于：首先，求出过P点的子午圈曲率半径M = a(1-e²) / (1-e² sin²B)^(3/2)。其次，根据几何关系，P点处的法线在卯酉圈平面内的投影长度即为卯酉圈曲率半径N。通过分析发现，N恰好等于法线从P点到短轴方向的长度，由此推导出上述公式。
公式的意义与应用
公式N = a / √(1 - e² sin²B) 表明，卯酉圈曲率半径随纬度B变化。在赤道上(B=0°)，N值最小，等于a；在两极(B=90°)，N值最大，等于a/√(1-e²) = a²/b。该半径总是大于等于子午圈曲率半径M。在实际应用中，N常用于将大地经差（L）转换为地面平行圈上的弧长（S = N cosB ΔL），也是计算大地高、绘制地图投影的基础参数。理解其推导有助于深入掌握椭球面几何，从而正确处理测量数据。