跪求答案(详细)已知函数f(x)=ax一lnx（a为常数） (1)当a=1时,求函数f(×)的最小值.2求函数f(x)在

已知函数f（x）=ax-lnx．（a为常数）
（1）当a=1时,求函数f（x）的最值；
（2）求函数f（x）在[1,+∞）上的最值；
（3）试证明对任意的n∈N*都有 ln(1+1n)n＜1．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；综合题．分析：（1）把a=1代入求出其导函数,得出其在定义域上的单调性即可求出函数f（x）的最值；
（2）先求出其导函数 fʹ(x)=a-1x,通过讨论a的取值得出函数在[1,+∞）上的单调性,进而求出函数f（x）在[1,+∞）上的最值；
（3）先由（1）知对任意的x∈（0,+∞）都有x-lnx≥1,即x-1≥lnx,再令x= n+1n代入x-1≥lnx即可证明结论．（1）当a=1时,函数f（x）=x-lnx,x∈（0,+∞）
∵ fʹ(x)=1-1x,令f'（x）=0得x=（12分）
∵当x∈（0,1）时,f'（x）＜0∴函数f（x）在（0,1）上为减函数
∵当x∈（1,+∞）时f'（x）＞0∴函数f（x）在（1,+∞）上为增函数
∴当x=1时,函数f（x）有最小值,f（x）最小值=f（1）=1（4分）
（2）∵ fʹ(x)=a-1x,
若a≤0,则对任意的x∈[1,+∞）都有f'（x）＜0,∴函数f（x）在[1,+∞）上为减函数
∴函数f（x）在[1,+∞）上有最大值,没有最小值,f（x）最大值=f（1）=a；（6分）
若a＞0,令f'（x）=0得 x=1a
当0＜a＜1时,1a＞1,当 x∈(1,1a)时f'（x）＜0,函数f（x）在 (1,1a)上为减函数
当 x∈(1a,+∞)时f'（x）＞0∴函数f（x）在 (1a,+∞)上为增函数
∴当 x=1a时,函数f（x）有最小值,f(x)最小值=f(1a)=1-ln1a（8分）
当a≥1时,1a≤1在[1,+∞）恒有f'（x）≥0
∴函数f（x）在[1,+∞）上为增函数,函数f（x）在[1,+∞）有最小值,f（x）最小值=f（1）=a．（9分）
综上得：当a≤0时,函数f（x）在[1,+∞）上有最大值,f（x）最大值=a；
当0＜a＜1时,函数f（x）有最小值,f(x)最小值=1-ln1a；
当a≥1时,函数f（x）在[1,+∞）有最小值,f（x）最小值=a．（10分）
（3）证明：由（1）知函数f（x）=x-lnx在（0,+∞）上有最小值1
即对任意的x∈（0,+∞）都有x-lnx≥1,即x-1≥lnx,（12分）
当且仅当x=1时“=”成立
∵n∈N*∴ n+1n＞0且 n+1n≠1
∴ n+1n-1＞lnn+1n⇔1n＞lnn+1n⇔1＞nln(1+1n)⇔1＞ln(1+1n)n
∴对任意的n∈N*都有 ln(1+1n)n＜1．（14分