已知向量m=(sinx,-1),向量n=(3cosx,[1/2]),函数f(x)=(m+n)•m.

已知向量
m
=(sinx,-1),向量
n
=(
3
cosx,[1/2]),函数f(x)=(
m
+
n
)•
m

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期T及单调递增区间;
(Ⅱ)若函数y=f(x)-t在x∈[[π/4],[π/2]]上有零点,求实数t的取值范围.
雪丽hh 1年前 已收到1个回答 举报

w02ic 春芽

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解题思路:(Ⅰ)代入向量运算,运用倍角及两角差的正弦公式化成正弦型函数的标准形式,利用周期公式T=
|ω|]求周期,根据正弦函数的单调性求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)函数y=f(x)-t在x∈[[π/4],[π/2]]上有零点,只要t在函数f(x)的值域中取值即可,转化成求函数f(x)值域问题.

(Ⅰ)f(x)=(

m+

n)•

m=sin2x+1+
3sinxcosx+[1/2]
=[1−cos2x/2]+1+

3
2sin2x+[1/2]
=

3
2sin2x-[1/2]cos2x+2
=sin(2x-[π/6])+2;
因为ω=2,所以T=[2π/2=π.
由−
π
2+2kπ≤2x−
π
6≤
π
2+2kπ,得−

点评:
本题考点: 三角函数中的恒等变换应用;利用导数研究函数的单调性;平面向量数量积的运算;三角函数的周期性及其求法.

考点点评: 本题考查了向量的运算、三角恒等变换及三角函数的图象与性质,解决本题的关键是利用三角公式把函数化成正弦型函数的标准形式.第(Ⅱ)关键是把函数的零点问题转化成求函数的值域问题.

1年前

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