若定义域为R的奇函数f(x)在（0,+∞）上是增函数,且f(4)=0,则使得不等式x*f(x^2)＞0成立的x的取值范围

若定义域为R的奇函数f(x)在（0,+∞）上是增函数,且f(4)=0,则使得不等式x*f(x^2)＞0成立的x的取值范围为
为什么?

五色花 1年前已收到4个回答举报

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∵f[(-x)^2]=f(x^2)
∴f(x^2)是偶函数
∵f(x)在（0,+∞）上是增函数且f(4)=0
∴f(x))在（0,4) 上递增,且为负值,
在（4,+∞）上递增,且为正值,
∴f(x^2)在（0,2) 上递增,且为负值,
在（2,+∞）上递增,且为正值,符合x*f(x^2)＞0
f(x^2)在（-2,0) 上递减,且为负值, 符合x*f(x^2)＞0
在（-∞,-2）上递减,且为正值
画出简图
∴ x的取值范围为（-2,0) ∪（2,+∞）

1年前

包包抱宝幼苗

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定义域为R的奇函数f(x)在（0，+∞）上是增函数，那么它在(-∞，+∞)上也是增函数。
因为x*f(x^2)＞0，显然x≠0,
当x>0时，x*f(x^2)＞0等价于f(x^2)＞0，又f(4)=0，所以f(x^2)>f(4)，
所以x^2>4，故x>2；
当x<0时，x*f(x^2)＞0等价于f(x^2)<0，即f(x^2)

1年前

giggszhao 幼苗

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x大于2

1年前

liuying713 幼苗

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若x＞0因为f(x)在（0，+∞）上是增函数，且f(4)=0,所以x在（0，4）上f(x)<0而在（4，+∞）上f(x) ＞0
因为x*f(x^2)＞0所以x^2在（4，+∞）内，所以x在（2，+∞）
同理可证（-∞，0）上时（-2，0）上同时成立。（利用图形最好）

1年前

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