(2012•虹口区三模)已知数列{an}满足a1=2,an+1=2(1+1n)2an.

(2012•虹口区三模)已知数列{an}满足a1=2,an+1=2(1+
1
n
)2an

(1)令bn
an
n2
,求数列{bn}和{an}的通项公式;
(2)设cn=(An2+Bn+C)•2n,试推断是否存在常数A,B,C,使对一切n∈N*都有an=cn+1-cn成立?若存在,求出A,B,C的值;若不存在,说明理由;
(3)对(2)中数列{cn},设dn
an
cn
,求{dn}的最小项的值.
南方的楠 1年前 已收到1个回答 举报

要rrww的rr 幼苗

共回答了18个问题采纳率:88.9% 举报

解题思路:(1)由条件,可得
an+1
(n+1)2
=2•
an
n2],从而可得{bn}是公比为2的等比数列,由此可求数列{bn}和{an}的通项公式;
(2)根据cn=(An2+Bn+C)•2n,作差,根据an=cn+1-cn恒成立,可得An2+(4A+B)n+2A+2B+C=n2恒成立,由此可求A,B,C的值;
(3)由dn
n2
n2−4n+6
1
6
n2
4
n
+1
,令t=
1
n
∈(0,1]
,利用配方法,即可求得结论.

(1)由已知得
an+1
(n+1)2=2•
an
n2,∴{bn}是公比为2的等比数列,
∵b1=2,∴bn=2•2n−1=2n
由bn=
an
n2=2•2n−1=2n,得an=2n•n2
(2)∵cn=(An2+Bn+C)•2n,
∴cn+1−cn=[A(n+1)2+B(n+1)+C]•2n+1−(An2+Bn+C)•2n=[An2+(4A+B)n+2A+2B+C]•2n
若an=cn+1-cn恒成立,则An2+(4A+B)n+2A+2B+C=n2恒成立,


A=1
4A+B=0
2A+2B+C=0,∴A=1,B=-4,C=6
故存在常数A=1,B=-4,C=6满足条件
(3)dn=
n2
n2−4n+6=
1

6
n2−
4
n+1,令t=
1
n∈(0,1]
则[6
n2−
4/n+1=6t2

点评:
本题考点: 数列递推式;数列的函数特性.

考点点评: 本题考查等比数列的证明,考查恒等式,考查求函数的最值,正确利用数列通项是关键.

1年前

5
可能相似的问题
Copyright © 2024 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 16 q. 0.028 s. - webmaster@yulucn.com