证明不等式（高中数学联赛）a、b、c、d为正实数.a+b+c+d=4 证：(a^2)/b+(b^2)/c+(c^2)/d

证明： a^2/b+b^2/c+c^2/d+d^2/a =(a^2/b)+(b^2/c+c^2/d+d^2/a) ≥(a^2/b)+(b+c+d)^2/(c+d+a) (柯西不等式） =a^2/b+(4-a)^2/(4-b) (a+b+c+d=4) =[a^2(4-b)+b(4-a)^2]/[b(4-b)] =(4a^2+16b-8ab)/[b(4-b)] =[(16b-4b^2)+(4a^2-8ab+4b^2)]/[b(4-b)] =4+4(a-b)^2/[b(4-b)] ≥4+(a-b)^2 (4/[b(4-b)]≥1等价于(b-2)^2≥0)