大一微积分 中值定理及导数应用

先分母有理化
原式
=lim(x→0) [√(1+tanx)-√(1+sinx)][√(1+tanx)+√(1+sinx)]/{x[ln(1+x)-x]*[√(1+tanx)+√(1+sinx)]}
=lim(x→0) [(1+tanx)-(1+sinx)]/{2x[ln(1+x)-x]}
=lim(x→0) (tanx-sinx)/{2x[ln(1+x)-x]}
=lim(x→0) tanx(1-cosx)/{2x[ln(1+x)-x]}
=lim(x→0) tanx(x^2/2)/{2x[ln(1+x)-x]}
=lim(x→0) (x^3/2)/{2x[ln(1+x)-x]}
=lim(x→0) x^2/{4[ln(1+x)-x]} (0/0)
=lim(x→0) x/{2[1/(1+x)-1]}
=lim(x→0) x/[-2x/(1+x)]
=-1/2

这种极限题最方便是泰勒公式：分子有理化后得：
原式=lim(x→0) [(tanx)-sinx)]/[xln(1+x)-x²][√(1+tanx)+√(1+sinx)]
=(1/2)lim(x→0) [(tanx)-sinx)]/[xln(1+x)-x²]

因为：tanx=x+x^3/3+o(x^4), sinx=x-x^3/3!+o(x^...