已知函数f(x)＝log a (1＋x)，g(x)＝log a (1－x)，其中(a>0且a≠1)，设h(x)＝f
| 已知函数f(x)＝log a (1＋x)，g(x)＝log a (1－x)，其中(a>0且a≠1)，设h(x)＝f(x)－g(x)． (1)求函数h(x)的定义域； (2)判断h(x)的奇偶性，并说明理由； (3)若f(3)＝2，求使h(x)>0成立的x的集合． |
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见解析
(1)由对数的意义，分别得1＋x>0，1－x>0，即x>－1，x<1.∴函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，函数g(x)的定义域为(－∞，1)，
∴函数h(x)的定义域为(－1,1)．
(2)∵对任意的x∈(－1,1)，－x∈(－1,1)，
h(－x)＝f(－x)－g(－x)＝log a (1－x)－log a (1＋x)＝g(x)－f(x)＝－h(x)，
∴h(x)是奇函数．
(3)由f(3)＝2，得a＝2.
此时h(x)＝log 2 (1＋x)－log 2 (1－x)，
由h(x)>0即log 2 (1＋x)－log 2 (1－x)>0，∴log 2 (1＋x)>log 2 (1－x)．
由1＋x>1－x>0，解得0故使h(x)>0成立的x的集合是{x|0
(1)由对数的意义，分别得1＋x>0，1－x>0，即x>－1，x<1.∴函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)，函数g(x)的定义域为(－∞，1)，
∴函数h(x)的定义域为(－1,1)．
(2)∵对任意的x∈(－1,1)，－x∈(－1,1)，
h(－x)＝f(－x)－g(－x)＝log a (1－x)－log a (1＋x)＝g(x)－f(x)＝－h(x)，
∴h(x)是奇函数．
(3)由f(3)＝2，得a＝2.
此时h(x)＝log 2 (1＋x)－log 2 (1－x)，
由h(x)>0即log 2 (1＋x)－log 2 (1－x)>0，∴log 2 (1＋x)>log 2 (1－x)．
由1＋x>1－x>0，解得0
1年前
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