广义积分∫ (正无穷,0) [arctanx/(1+x^2)^3]dx,求广义积分啊?

∫[0,∞]arctanx/(1+x²)³ dx
令y=arctanx => x=tany => dy=1/(1+x²) dx
当x=0,y=0 // 当x→∞,y→π/2
原式= ∫[0,π/2]y/(1+tan²y)² dy
= ∫[0,π/2]y/sec⁴y dy
= ∫[0,π/2]ycos⁴y dy
= ∫[0,π/2]y * (1/8)(3+4cos2y+cos4y) dy
= (1/8)∫[0,π/2] (3y+4ycos2y+ycos4y) dy
= (1/128)(24y²+32ysin2y+4ysin4y+16cos2y+cos4y)
= (1/128)[(6π²-15)-(17)]
= (1/128)(6π²-32)
= 3π²/64 - 1/4
你的答案是错的.

你怎么又问，做变量替换arctanx=t，x＝0对应t＝0，x＝无穷对应t＝pi/2，x=tant，dx＝sec^2tdt，arctanx/(1+x^2)^3dx=tcos^4tdt，原积分化为积分(0到pi/2)(tcos^4tdt)=(倍角公式cos^2t=(1+cos2t)/2)1/4积分(0到pi/2)（t(1+2cos2t+(1+cos4t)/2)dt），最后计算一下就行。