在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上、半径为2的圆C位于y轴右侧，且与直线x−3y+2＝0相切．

解题思路：（1）设圆心是（x₀，0）（x₀＞0），由直线x−

3

y+2＝0于圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式可求x₀，进而可求圆C的方程
（2）把点M（m，n）代入圆的方程可得，m，n的方程，结合原点到直线l：mx+ny=1的距离h＜1可求m的范围，根据弦长公式求出AB，代入三角形的面积公式，结合二次函数的性质可求最大值

（1）设圆心是（x₀，0）（x₀＞0），它到直线x−
3y+2＝0的距离是d＝
|x0+2|

1+3＝2，
解得x₀=2或x₀=-6（舍去）…（3分）
∴所求圆C的方程是（x-2）²+y²=4…（4分）
（2）∵点M（m，n）在圆C上
∴（m-2）²+n²=4，n²=4-（m-2）²=4m-m²且0≤m≤4…（6分）
又∵原点到直线l：mx+ny=1的距离h＝
1

m2+n2＝
1

4m＜1…（8分）
解得[1/4＜m≤4…（10分）
而|AB|＝2
1−h2]
∴S△OAB＝
1
2|AB|•h＝
h2−h4＝

点评：
本题考点： 圆的标准方程；点到直线的距离公式．

考点点评： 本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，直线与圆的相交关系的应用及基本运算的能力