一道初中数学题（50分）如图.AB为直线同侧的两点,且点A和B到L的距离分别为4.5和10.5,且垂足CD间的距离为8,

将三角形ACP沿CD翻转180°,使得A点落在A'上,连接A'B,交CD于P',过A'作CD平行线,与BD延长线交于点E,辅助线做完了,开始证明：
因为△A'CP是△ACP翻转得来,所以AP=A'P
所以AP+BP=A'P+BP
只要点P不与P'重合,那么A,P,B就可以形成一个三角形,
那么根据两边之和大于第三边,所以A'P+BP>AB
只有当P与P'重合时,A'P+BP=AB,
因为AB是一个定值,所以当P与P'重合时,有A'P+BP的最小值,即AP+BP的最小值.并且此时AP+BP=AB
然后开始求这这个值.
因为A'E‖CD,AA'‖BE,且∠A'CD=90
所以A'CDE是矩形
所以DE=A'C
又因为A'C=AC
所以DE=AC=4.5
所以BE=DE+BD=4.5+10.5=15
A'E=CD=8
所以AB^2=BE^2+A'E^2=225+64=289
AB=17
所以AP+BP=17
即AP+BP的最小值为17

A、B在直线同侧。
作点B关于直线L的对称点B',连结AB',与直线L的交点就是点P.
此时PA+PB=AB'.
过点A作AH垂直BB'于点H.
HB'=BB'-HB
HB=BD-HD
HD=AC
HB'=BB'-(BD-HD)
HB'=10.5*2-(10.5-4.5)=15
AH=CD
AB'=√(AH^2+HB'^2)=√(8^2+15^2) =17
所以,PA+PB=17