LauHenry 春芽
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(Ⅰ)∵f(x1+x2)=f(x1)•f(x2),
∴满足条件函数可以是指数函数y=ax(a>0且a≠1),如f(x)=2x;
(Ⅱ)类比指数函数的性质得出f(x)的几个性质:
①函数f(x)的图象过定点(0,1);②f(x)值域是(0,+∞);
③函数f(x)在R上是减函数.
证明:①由于f(x)=f(x+0)=f(x)f(0),而f(x)≠0,则f(0)=1;
②由于f(x)=f(
x/2]+[x/2])=f([x/2])f([x/2])=f2(
x
2)≥0,而f(x)≠0,则f(x)>0;
③任取x1,x2,且x1<x2,则x1-x2<0,
∵当x<0时,f(x)>1,∴f(x1-x2)>1,
又∵函数f(x)>0,
∴f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x2)f(x1-x2)>f(x2),
则f(x)为R上的减函数,
(Ⅲ)由(Ⅱ)得,f(0)=1,
∵f(x+4)>
1
f(x),且f(x)>0,
∴f(x+4)f(x)>1,即f(x+4+x)>f(0),
∵f(x)为R上的减函数,
∴x+4+x<0,解得x<-2.
点评:
本题考点: 抽象函数及其应用;函数单调性的判断与证明.
考点点评: 本题考查抽象函数的性质及其应用,以及赋值法求函数的值,指数函数的性质等,灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性,此类题要求答题者有较高的数学思辨能力,能从所给的条件中组织出证明问题的组合来.
1年前
1.已知函数F(x)定义实数集R上为偶函数,且对任意实数X都有
1年前2个回答