设随机变量X服从正态分布(μ,σ^2),则F(X)为其分布函数,试证明:对任意数α有F(μ+α)+F(μ-α)=1.

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设p(x)为X的密度函数,则p(x)以直线x=μ对称,即p(μ+x)=p(μ-x),F'(x)=p(x).
F(μ)=积分(-无穷,μ)p(x)dx=1/2.
设G(x)=F(μ+x)+F(μ-x),则G'(x)=F'(μ+x)-F'(μ-x)=p(μ+x)-p(μ-x)=0.
所以,F(μ+x)+F(μ-x)=C(C为常数).
取x=0,则2F(μ)=1=C.
所以,F(μ+x)+F(μ-x)=1.
取x=α,则F(μ+α)+F(μ-α)=1.

1年前

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