(2014•南京三模)如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB=2,点M,N分别在线段PA和BD上,BN=[1/3]B

(2014•南京三模)如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB=
2
,点M,N分别在线段PA和BD上,BN=[1/3]BD.
(1)若PM=[1/3]PA,求证:MN⊥AD;
(2)若二面角M-BD-A的大小为[π/4],求线段MN的长度.
windy2166 1年前 已收到1个回答 举报

左手中指戒指 幼苗

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解题思路:(1)连接AC,BD交于点O,以OA为x轴正方向,以OB为y轴正方向,OP为z轴建立空间直角坐标系.利用向量法能证明MN⊥AD.
(2)设
PM
PA
,得M(λ,0,1-λ),
BM
=(λ,-1,1-λ)
BD
=(0,-2,0)
,分别求出平面MBD的法向量和平面ABD的法向量,利用向量法解得λ=
1
2
,由此能求出线段MN的长度.

(本小题满分10分)
(1)证明:连接AC,BD交于点O,以OA为x轴正方向,以OB为y轴正方向,
OP为z轴建立空间直角坐标系.
∵PA=AB=
2,则A(1,0,0),B(0,1,0),
D(0,-1,0),P(0,0,1).


BN=
1
3

BD,得N(0,[1/3],0),


PM=
1
3

PA,得M([1/3],0,[2/3]),


MN=(-
1
3,
1
3,-
2
3),

AD=(-1,-1,0),


MN•

AD=0,∴MN⊥AD.
(2)∵M在PA上,设

PM=λ

PA,得M(λ,0,1-λ),


BM=(λ,-1,1-λ),

BD=(0,-2,0),
设平面MBD的法向量

n=(x,y,z),




n•

BD=0


n•

BM=0,得

-2y=0
λx-y+(1-λ)z=0,
取z=λ,得

n=(λ-1,0,λ),
∵平面ABD的法向量为

OP=(0,0,1),二面角M-BD-A的大小为[π/4],
∴cos[π/4]=|


n•

OP
|

n||

OP||,即

2
2=
λ

(λ-1)2+λ2,解得λ=
1
2,
∴M([1/2,0,
1
2]),N(0,[1/3],0),
∴|MN|=
(
1
2-0)2+(0-
1
3)2+(
1
2-0)2=

22
6.

点评:
本题考点: 与二面角有关的立体几何综合题;空间中直线与直线之间的位置关系.

考点点评: 本题考查异面直线垂直的证明,考查线段长的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

1年前

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