线性代数问题1假设矩阵A为m*n矩阵,B 为n阶矩阵.已知r(A)=n,证明（1）若AB=O则B=O（2）若AB=A则B

线性代数问题
1假设矩阵A为m*n矩阵,B 为n阶矩阵.已知r(A)=n,证明
（1）若AB=O则B=O
（2）若AB=A则B=I
2 若n阶矩阵A满足A²-2A-4I=O,试证明A+I可逆,并求(A+I)-¹

yaya_yy 1年前已收到1个回答举报

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1.证明:(1) 因为 AB = 0,所以B的列向量都是 AX=0 的解 [ 看到AB=0就要联想到这个结论]
而由已知 r(A)=n,所以 AX=0 只有零解
所以B的列向量都是零向量,故 B-0.
(2) 由 AB=A,所以 A(B-I) = 0.由(1)知 B-I=0,所以 B=I.
2.由A²-2A-4I=O 得 (A+I)(A-3I)=I
所以 A+I 可逆,且 (A+I)^-1 =A-3I.

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