微积分基本定理用微积分求X²/a²+Y²/b²=1的面积

用-y代y,方程不变,说明这是关于x轴对称的图形,
我们先求x轴上方部分面积.然后乘以2即可.
（以下pi指圆周率）
先变形：y=根号(1-x^2/a^2)（y>0,所以不需要正负号)
在-a到a上定积分：积分[-a~a]b根号(1-x^2/a^2)dx
我们注意到这没法用直接积出,所以要换元.令x=acost,则根号(1-x^2/a^2)=sint,t属于[0,pi].所以积分式变为
积分[0,pi](bsint)d(acost)
=积分[0,pi]ab(sint)d(cost)
=积分[0,pi]ab(sint)(sint)dt
=积分[0,pi]ab[(1-cos2t)/2]dt
=ab[t-sin2t/2]/2|[0,pi]
=ab[pi-0]/2-ab[0-0]/2
=ab*pi/2.
这是x轴上方的部分,所以整个图形的面积是上式的2倍.即pi*ab.

椭圆的面积公式在高等数学的教材里是一个例题
πab，请参看教材，如果你想学习微积分的话，给你推荐一给网址
http://u.youku.com/user_playlist/id_UNzU0MzczODQ=.html
里边有我搜集高等数学上下，很经典的