已知:定点A(-1,0),点B是⊙F:(x-1)2+y2=12(F为圆心)上的动点,线段AB的垂直平分线交BF于点G,记

已知:定点A(-1,0),点B是⊙F:(x-1)2+y2=12(F为圆心)上的动点,线段AB的垂直平分线交BF于点G,记点G的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)设过点A的直线l与曲线E交于P、Q两点.在x轴上是否存在一点M,使得
MP
MQ
恒为常数?若存在,求出M点的坐标和这个常数;若不存在,说明理由.
dawoer 1年前 已收到1个回答 举报

jxcdyx 花朵

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解题思路:(I)利用椭圆的定义判断点G的轨迹是以A、F为焦点的椭圆,求出a、b的值,即得椭圆的方程.
(II)分类讨论,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程化简,利用根与系数的关系以及向量的数量积公式,即可得出结论.

(I)由题意得 圆心F(1,0),半径等于2
3,|GA|=|GB|,
∴|GF|+|GA|=|GF|+|GB|=|BF|=半径2
3>|AF|,
故点G的轨迹是以A、F 为焦点的椭圆,2a=2
3,c=1,∴b=1,
∴椭圆的方程为
x2
2+y2=1;
(II)设x轴上存在一点M(t,0),使得

MP•

MQ恒为常数
①直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+1),P(x1,y1 ),Q(x2,y2),
把直线l的方程代入椭圆方程化简可得(3k2+2)x2+6k2x+(3k2-6)=0,
∴x1+x2=-
6k2
2+3k2,x1x2=
3k2−6
2+3k2,
∴y1y2=k2(x1+1)(x2+1)=k2[x1x2+(x1+x2)+1],


MP•

点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.

考点点评: 本题考查用定义法求点的轨迹方程,两个向量的数量积公式,考查韦达定理,考查分类讨论的数学思想,属于难题.

1年前

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