设函数f（x）=x2，g（x）=alnx+bx（a＞0）．

解题思路：（1）由函数解析式，求出导函数的解析式，根据f（1）=g（1），f'（1）=g'（1），可求出a，b的值，进而求出F（x）的解析式，求导后，分析函数的单调性，进而可得F（x）的极小值
（2）根据（1）可得（1，1）是f（x）和g（x）的公共点，过此点两个函数图象的公切线为y=2x-1，若存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m成立，即f（x）≥2x-1和g（x）≤2x-1同时成立，根据二次函数的图象和性质及导数法判断后可得答案．

（1）f′(x)＝2x，g′(x)＝
a
x+b，代入可得：a=1，b=1
∴F（x）=x²-lnx-x，
∴F′(x)＝2x−
1
x−1=
2x2−x−1
x=
(x−1)(2x+1)
x
∵当x∈（0，1）时，F′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，
∴F（x）在（0，1）递减，（1，+∞）递增，
∴F（x）的极小值为F（1）=0
（2）由（1）得，（1，1）是f（x）和g（x）的公共点，
f（x）在点（1，1）处的切线方程是y=2x-1
∴若存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m成立
即f（x）≥2x-1和g（x）≤2x-1同时成立
∵f（x）-2x+1=x²-2x+1=（x-1）²≥0，
∴f（x）≥2x-1
令h（x）=g（x）-2x+1，h′(x)＝
1
x−1＝
1−x
x，
∴h（x） 在（0，1）递增，（1，+∞）递减，
∴h（x）_max=h（1）=0，
∴h（x）≤0，即g（x）≤2x-1成立
∴存在k=2，m=-1使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m成立

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的单调性，其中（1）中求出a，b值，进而确定函数的解析式是解答的关键．

(1) 首先，a=1，b=1 F(x)=x^2-lnx-x F’（x）=（2x+1)（x-1）/x
F(x)=f(x)-g(x)的极小值为F（1）=0
(2)这道题其实就是找分界线啦 要注意到f（x）与g（x）有交点（1,1）
所以，如果存在，易知，这条直线必须是公切线 y=2x-1 现在再证明(f（x）-2x+1非负，g（x）-2x+1）非正）即可（...