（2011•东城区二模）在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F(0，14)的距离比点P到x轴的距离大[1/4]，设动点

（Ⅰ）由已知，动点P到定点F(0，
1
4)的距离与动点P到直线y＝−
1
4的距离相等．
由抛物线定义可知，动点P的轨迹为以(0，
1
4)为焦点，
直线y＝−
1
4为准线的抛物线．
所以曲线C的方程为y=x²．（3分）
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y＝x2
y＝kx+1得x²-kx-1=0．
所以x₁+x₂=k，x₁x₂=-1．
设M（x₀，y₀），则x0＝
k
2．
因为MN⊥x轴，
所以N点的横坐标为[k/2]．
由y=x²，可得y′=2x
所以当x＝
k
2时，y′=k．
所以曲线C在点N处的切线斜率为k，
与直线AB平行．（8分）
（Ⅲ）由已知，k≠0．
设直线l的垂线为l′：y＝−
1
kx+b．
代入y=x²，可得x2+
1
kx−b＝0（*）
若存在两点D（x₃，y₃），E（x₄，y₄）关于直线l对称，
则
x3+x4
2＝−
1
2k，
y3+y4
2＝
1
2k2+b
又(
x3+x4
2，
y3+y4
2)在l上，
所以[1
2k2+b＝k(−

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的定义；抛物线的简单性质．

考点点评： 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，考查运算求解能力，推理论证能力；解题时要注意合理地进行等价转化．

1年前

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