(2012•甘谷县模拟)(理) 设数列{an}为正项数列,其前n项和为Sn,且有an,sn,a2n成等差数列.

(2012•甘谷县模拟)(理) 设数列{an}为正项数列,其前n项和为Sn,且有an,sn
a
2
n
成等差数列.(1)求通项an;(2)设f(n)=
sn
(n+50)sn+1
求f(n)的最大值.
王中磊是我 1年前 已收到1个回答 举报

冬月飘雪 幼苗

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解题思路:(1)根据an,sn
a
2
n
成等差数列,可得2Sn=an+
a
2
n
,再写一式,两式相减,可得{an}是公差为1的等差数列,从而可求通项an
(2)由(1)知,Sn
n(n+1)
2
,从而f(n)=
Sn
(n+50)Sn+1
=[1n+
100/n
+52],利用基本不等式,即可求f(n)的最大值.

(1)∵an,sn
a2n成等差数列
∴2Sn=an+
a2n,
∴n≥2时,2Sn-1=an-1+
a2n−1,
两式相减得:2an=an2+an-
a2n−1-an-1
∴(an+an-1)(an-an-1-1)=0
∵数列{an}为正项数列,∴an-an-1=1
即{an}是公差为1的等差数列
又2a1=a12+a1,∴a1=1
∴an=1+(n-1)×1=n;
(2)由(1)知,Sn=
n(n+1)
2,
∴f(n)=
Sn
(n+50)Sn+1=[n
n2+52n+100=
1
n+
100/n+52]≤[1/72]
当且仅当n=10时,f(n)有最大值[1/72].

点评:
本题考点: 数列与函数的综合;等差数列的性质.

考点点评: 本题考查数列递推式,考查数列的通项与求和,解题的关键是确定数列为等差数列,利用基本不等式求最值.

1年前

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