如图，已知A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是AC中点．（1）证明AB1∥平面DBC1；（2）假设AB1⊥BC1，求以B

解题思路：（1）欲证AB₁∥平面DBC₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AB₁与平面DBC₁内一直线平行，根据等腰三角形可知DE∥AB₁，又AB₁∉平面DBC₁，DE⊂平面DBC₁，满足定理所需条件；
（2）作DF⊥BC，垂足为F，则DF⊥面B₁BCC₁，连接EF，则EF是ED在平面B₁BCC₁上的射影，根据二面角的平面角的定义可知∠DEF是二面角α的平面角，然后在三角形DEF中求出∠DEF即可．

（1）证明：
∵A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，∴四边形B₁BCC₁是矩形．
连接B₁C交BC₁于E，则B₁E=EC．连接DE．
在△AB₁C中，∵AD=DC，∴DE∥AB₁．
又AB₁⊈平面DBC₁，DE⊂平面DBC₁，∴AB₁∥平面DBC₁．
（2）作DF⊥BC，垂足为F，
则DF⊥面B₁BCC₁，连接EF，
则EF是ED在平面B₁BCC₁上的射影．
∵AB₁⊥BC₁，
由（1）知AB₁∥DE，∴DE⊥BC₁，则BC₁⊥EF，∴∠DEF是二面角α的平面角．
设AC=1，则DC=[1/2]．∵△ABC是正三角形，∴在Rt△DCF中，
DF=DC•sinC=

3
4，CF=DC•cosC=[1/4]．取BC中点G．∵EB=EC，∴EG⊥BC．
在Rt△BEF中，
EF²=BF•GF，又BF=BC-FC=[3/4]，GF=[1/4]，
∴EF²=[3/4]•[1/4]，即EF=

3
4．∴tan∠DEF=
DF
EF＝


3
4


3
4＝1．∴∠DEF=45°．
故二面角α为45°．

点评：
本题考点： 直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．

考点点评： 本小题考查空间线面关系、正棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．