（2012•盐城一模）已知数列{an}满足a1＝a(a＞0，a∈N*)，a1+a2+…+an-pan+1=0（p≠0，p

解题思路：（1）因为a₁+a₂+…+a_n-pa_n+1=0，n≥2时，a₁+a₂+…+a_n-1-pa_n=0，两式相减，得

an+1

an

＝

p+1

p

(n≥2)，从而可知数列{a_n}从第二项起是公比为[p+1/p]的等比数列，由此可求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）①由（1）得ak+1＝

a

p

(

p+1

p

)k−1，ak+2＝

a

p

(

p+1

p

)k，ak+3＝

a

p

(

p+1

p

)k+1，再进行分类讨论：
[1]若a_k+1为等差中项，则2a_k+1=a_k+2+a_k+3；[2]若a_k+2为等差中项，则2a_k+2=a_k+1+a_k+3，；[3]若a_k+3为等差中项，则2a_k+3=a_k+1+a_k+2，从而可求p的值及对应的数列{d_k}；
②分类讨论，计算S_k，利用S_k＜30，建立不等式，再分离参数，由此可求满足题意的最大正整数．

（1）因为a₁+a₂+…+a_n-pa_n+1=0，
所以n≥2时，a₁+a₂+…+a_n-1-pa_n=0，两式相减，得
an+1
an＝
p+1
p(n≥2)，
故数列{a_n}从第二项起是公比为[p+1/p]的等比数列…（3分）
又当n=1时，a₁-pa₂=0，解得a2＝
a
p，
从而an＝

a

a
p(
p+1
p)n−2

(n＝1)
(n≥2)…（5分）
（2）①由（1）得ak+1＝
a
p(
p+1
p)k−1，ak+2＝
a
p(
p+1
p)k，ak+3＝
a
p(
p+1
p)k+1，
[1]若a_k+1为等差中项，则2a_k+1=a_k+2+a_k+3，
即[p+1/p＝1或
p+1
p＝−2，解得p＝−
1
3]…（6分）
此时ak+1＝−3a(−2)k−1，ak+2＝−3a(−2)k，
所以dk＝|ak+1−ak+2|＝9a•2k−1…（8分）
[2]若a_k+2为等差中项，则2a_k+2=a_k+1+a_k+3，即

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等比关系的确定；等差数列的性质．

考点点评： 本题重点考查数列的通项与求和，考查分类讨论的数学思想，考查分离参数法的运用，综合性较强，有难度．