（2012•潮阳区模拟）如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、

解题思路：（1）可以证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的对应高的比相等即可证得；
（2）根据矩形的面积公式，可以把面积表示成关于EF的长的函数，根据函数的性质即可求解；
（3）分0≤t＜4，4≤t＜5，5≤t≤9三种情况进行讨论，分别求得函数的解析式．

证明：（1）∵在矩形EFPQ中，EF∥PQ．（1分）
∴△AEF∽△ABC．（2分）
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF．（3分）
∴[AH/AD＝
EF
BC]．（4分）

（2）由（1）得[AH/AD＝
EF
BC]，
∵BC=10，AD=8，EF=x，
∴[AH/8＝
x
10]．
∴AH＝
4
5x．（5分）
∴EQ=HD=AD-AH=8-[4/5x．（6分）
∴y=EF×EQ=x（8-
4
5x）=−
4
5x2+8x=−
4
5(x−5)2+20．（8分）
∵a=−
4
5＜0，
∴当x=5时，y的最大值为20．（9分）

（3）S＝

−
1
2t2+20(0≤t＜4).
−4t+28(4≤t＜5).

1
2(9−t)2(5≤t≤9).]（12分）
附：第（3）小题详由（2）得EF=5，EQ=4．
∵∠C=45°，
∴△PFC为等腰直角三角形．
∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9．
分三种情况讨论：
1如图1，当0≤t＜4时，设EF、PF分别交AC于点M、N，
则△MFN为等腰直角三角形．
∴FN=MF=t．
∴S＝S矩形EFPQ−S△MFN＝20−
1
2t2＝−
1
2t2+20；

②如图2，4≤t＜5时，则ME=5-t，QC=9-t，
∴S＝S梯形EMCQ＝
1
2[(5−t)+(9−t

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；矩形的性质．

考点点评： 本题主要考查了相似三角形的性质与二次函数的应用，分情况进行讨论是关键．