已知抛物线y=x2-2（a+b）x+c2，其中a，b，c分别是三角形ABD的三边．

解题思路：①列式求出根的判别式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出△＞0，即可判断与x轴有两个交点；
②先根据抛物线对称轴公式求出a=b，再根据△MNE与△MNF面积之比为2：1，可以求出点E的横坐标是点F的横坐标的2倍，直线与抛物线解析式联立得到关于x的方程，即方程的一个解是另一个解的2倍，从而求出方程的两个根，再根据根与系数的关系中的两根之积列式求出a与c的关系，然后根据勾股定理逆定理即可证明；
③根据三角形的面积求出a、b的长度，然后求出c的长度，从而得到抛物线解析式，然后求出PQ的长度，再根据圆与y轴相切求出圆的半径，然后根据圆的半径、弦的一半，利用勾股定理求出弦心距即可得到圆心的坐标．

①证明：△=b²-4ac=[-2（a+b）]²-4×1×c²=4[（a+b）²-c²]，
∵a+b＞c（三角形任意两边之和大于第三边），
∴△＞0，
∴抛物线与x轴必有两个交点；

②证明：抛物线对称轴为直线x=-[b/2a]=-
−2(a+b)
2×1=2a，
解得a=b，
∴△ABC为等腰三角形，
直线与抛物线解析式联立得，

y＝x2−2(a+b)x+c2
y＝2ax−3
2ac，
即x²-2（a+b）x+c²=2ax-3
2ac，
整理得，x²-6ax+c²+3
2ac=0，
∵△MNE与△MNF面积之比为2：1，
∴点E到MN的距离等于点F到MN的距离的2倍，
即点E的横坐标是点F的横坐标的2倍，
设点F的横坐标是x，则点E的横坐标是2x，
∴x+2x=6a，
解得x=2a，2x=4a，
∴x•2x=2a•4a=c²+3
2ac，
整理得c²+3
2ac-8a²=0，
解得c=
2a，c=-4
2a（舍去），
∴a²+b²=2a²=c²，
∴△ABC为直角三角形，
故△ABC为等腰直角三角形；

③存在．
理由如下：S_△ABC=[1/2]×a×b=[1/2]×a×a=2，
∴a=b=2，
∴c=
2a=2
2，
∴抛物线解析式为y=x²-2（a+b）x+c²=x²-8x+8，
∴PQ=
(x1+x2)2−4x1x2=
64−4×8=4
2，
∵圆与y轴相切，
∴半径r=2a=2×2=4，
∴弦心距=
42−(2
2)2=2
2，
∴存在过P、Q两点，且与y轴相切的圆，圆心（4，2
2）或（4，-2
2）．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题是二次函数综合题，考查了利用根的判别式求抛物线与x轴的交点个数，联立直线与抛物线解析式求函数图象的交点坐标之间的关系，函数图象上两点间的距离的求解，半径、弦心距、半弦长组成的三角形的计算，综合性较强，对同学们能力要求较高，仔细分析，认真计算也不难求解．