设向量组（1）：a1,a2,a3; (2):a1,a2,a3,a4; (3):a1,a2,a3,a5. 已知秩(1)=秩

R(1)=3,因此a1,a2,a3线性无关；R(2)=3,说明a1,a2,a3,a4线性相关,所以a4可以用a1,a2,a3线性表示（定理）.
若a1,a2,a3,2a4+a5线性相关,由a1,a2,a3线性无关知,2a4+a5可由a1,a2,a3线性表示,而已知a4可以用a1,a2,a3线性表示,所以a5也可由a1,a2,a3线性表示.而题目中给出的R（3）=4说明a1,a2,a3,a5线性无关,因此产生矛盾,原命题得证.
我这里是给你的定性说法,线性表示你可以直接设a4=Aa1+Ba2+Ca3等等反正意思一样.