已知四棱锥P-ABCD，底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD且PA=1，M、N分别为AD、BC的中点，MQ⊥P

解题思路：（I）根据正方形的性质，证出AB∥MN．利用线面平行判定定理即可证出AB∥平面MNQ；
（II）正方形中证出MN⊥AD，根据PA⊥平面ABCD证出MN⊥AP．利用线面垂直判定定理，证出MN⊥平面PAD，再由MN⊂平面PMN，证出平面PMN⊥平面PAD；
（II）由（II）的结论证出MN⊥PM且MN⊥MQ，得∠PMQ为二面角P-MN-Q的平面角．分别在Rt△MQD、Rt△PAM中算出MQ、PM长，最后在Rt△PMQ中利用三角函数的定义算出cos∠PMQ=

10

10

，即可得到二面角P-MN-Q的余弦值．

（I）∵ABCD为正方形且M、N分别为AD、BC的中点，
∴AB∥MN．
又∵MN⊂平面MNQ，AB⊄平面MNQ，∴AB∥平面MNQ．
（II）∵ABCD为正方形且M、N分别为AD、BC的中点，
∴MN⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，MN⊂平面ABCD，∴MN⊥AP．
又∵AD∩AP=A，∴MN⊥平面PAD，
∵MN⊂平面PMN，∴平面PMN⊥平面PAD．
（III）由（II）得MN⊥平面PAD，PM⊂平面PAD，MQ⊂平面PAD，
∴MN⊥PM，MN⊥MQ，可得∠PMQ为二面角P-MN-Q的平面角．
∵PA=AD=1，∴∠PDA=45°．
Rt△MQD中，MQ=

2
2MD=

2
4，Rt△PAM中，PM=
PA2+AM2=

5
2．
∴Rt△PMQ中，cos∠PMQ=[MQ/PM]=


2
4


5
2=

点评：
本题考点： 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．

考点点评： 本题在四棱锥P-ABCD中证明线面平行、面面垂直，并求二面角的大小．着重考查了空间平行、垂直位置关系的判断与证明，以及二面角的定义与求法等知识，属于中档题．