设β是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,

反证法,如果向量组α1,α2.……αn-r,β线性相关,则存在不全为零的数k1,k2,.……,kn-r,k使得
k1*a1+k2*a2+.……+kn-r*αn-r+k*β=0.如果k不等于0,那么移项过去,β可以由向量组α1,α2.……αn-r线性表示,因为α1,α2.……αn-r是对应齐次方程组的一个解的基础解系,那么β也是齐次方程组的一个解,这与题设β是非齐次线性方程组Ax=b的解向量相矛盾；那么只有k=0,那么存在不全为零的数k1,k2,.……,kn-r使得k1*a1+k2*a2+.……+kn-r*αn-r=0,因为α1,α2.……αn-r线性无关,所以对于不全为0的k1,k2,.……,kn-r,k1*a1+k2*a2+.……+kn-r*αn-r不等于0,等式不成立,与假设α1,α2.……αn-r,β线性相关矛盾,所以α1,α2.……αn-r,β线性无关.