设f(x),g(x)在[0,1]上的微商连续,且f（0）=0,f‘（x）≥0,g’（x）≥0.证明:对任意a属于[0,1

∫a g（x）f’（x）dx+∫1 f（x）g’（x）dx
0 0
=∫a g（x）f’（x）dx+∫a f（x）g’（x）dx+∫1 f（x）g’（x）dx
0 0 a
=∫a（g（x）f’（x）+ f（x）g’（x））dx+∫1 f（x）g’（x）dx
0 a
=f(a)g(a)-f(0)g(0)+∫1 f（x）g’（x）dx
a
由在[0,1]上f'(x)≥0得,f(x)在[0,1]上单调递增,而f(0)=0
∴ 对于 0≤a≤x≤1,有 f(0)=0≤f(a)≤f(x)≤f(1),加上 g'（x）≥0
∫1 f（x）g’（x）dx ≥ ∫1 f（a）g’（x）dx =f（a）（g'（1）-g'（a））
a a
因此 ∫a g（x）f’（x）dx+∫1 f（x）g’（x）dx
0 0
≥f(a)g(a)-f(0)g(0)+f(a)(g(1)-g(a))
=f(a)g(1)