(2014·武汉模拟)已知点P是圆M：x 2 +(y+m) 2 =8(m>0,m≠ )上一动点,点N(0,m)是圆
| (2014·武汉模拟)已知点P是圆M：x 2 +(y+m) 2 =8(m>0,m≠  )上一动点,点N(0,m)是圆M所在平面内一定点,线段NP的垂直平分线l与直线MP相交于点Q.(1)当P在圆M上运动时,记动点Q的轨迹为曲线Г,判断曲线Г为何种曲线,并求出它的标准方程. (2)过原点斜率为k的直线交曲线Г于A,B两点,其中A在第一象限,且它在x轴上的射影为点C,直线BC交曲线Г于另一点D,记直线AD的斜率为k′,是否存在m,使得对任意的k>0,都有|k·k′|=1?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由. |
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（1）双曲线
-
=1
（2）存在，m=
(1)因为|QN|=|QP|,
所以||QM|-|QN||=|PM|=2
.
①当2 <2m时,动点Q的轨迹曲线Г为以点M,N为焦点,2a=2 为实轴的双曲线,其标准方程为 - =1.
②当2 >2m时,动点Q无轨迹.
(2)如图所示,
设A(x 1 ,y 1 ),D(x 0 ,y 0 ),则B(-x 1 ,-y 1 ),C(x 1 ,0).
则y 1 =kx 1 .
直线BC的方程为y=
(x-x 1 ),即y=
(x-x 1 ).
联立
化为(m 2 k 2 -2k 2 -8)x 2 -2k 2 (m 2 -2)x 1 x+(m 2 -2)(k 2 
-8)=0.
所以-x 1 +x 0 =
,
所以k′=
=
= -
.
若存在m,使得对任意的k>0,都有|k·k′|=1,
则
=1,
整理得m 2 =6,解得m=± (负值舍去).
因此存在m,且当m= 时,满足题意.
-
=1（2）存在，m=
(1)因为|QN|=|QP|,
所以||QM|-|QN||=|PM|=2
.①当2
<2m时,动点Q的轨迹曲线Г为以点M,N为焦点,2a=2 为实轴的双曲线,其标准方程为 - =1.②当2
>2m时,动点Q无轨迹.(2)如图所示,
设A(x 1 ,y 1 ),D(x 0 ,y 0 ),则B(-x 1 ,-y 1 ),C(x 1 ,0).
则y 1 =kx 1 .
直线BC的方程为y=
(x-x 1 ),即y=
(x-x 1 ).联立
化为(m 2 k 2 -2k 2 -8)x 2 -2k 2 (m 2 -2)x 1 x+(m 2 -2)(k 2 
-8)=0.所以-x 1 +x 0 =
,所以k′=
=
=
-
.若存在m,使得对任意的k>0,都有|k·k′|=1,
则
=1,整理得m 2 =6,解得m=±
(负值舍去).因此存在m,且当m=
时,满足题意.
1年前
6
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1年前1个回答
你能帮帮他们吗