关于泰勒级数理解的问题 TATf(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+1/2!f"(x0)(x-x0)²

1、没有Rn(x),说明f(x)就是一个n次多项式,这在一般情况下是不成立的.
Taylor展式是对任意的n次可微的函数都成立,因此是有误差的.
2、Taylor展式的目的就是希望用比较简单的函数来近似复杂的函数,而简单的函数就是
多项式了,因此展开为一个多项式,剩下的是误差.当然我们希望误差越小越好,因此
要考虑误差的大小.书上证明了误差是(x--x0^n的高阶无穷小,也即是说误差比(x--x0)^n
趋于0的速度还要快,因此在x--x0的邻域附近这个近似程度是很高的.
3、上面2已经解答了
4、不是所有的函数都能写成这个样子,必须是f(x)在x0有n阶导数,或者说,
f(x)在x0有几阶导数,就能展开到x--x0的多少次幂,剩余的误差也就越小.
误差的推导书上都有吧.
就是考虑极限lim 【f(x)--T(x)】/(x--x0)^n,其中T(x)就是右端的多项式了.
连续用n次洛必达法则可以看出极限是0,这就是结论了.