f1（x）=[2/1+x]，定义fn+1（x）=f1[fn（x）]，an=fn(0)−1fn(0)+2，其中n∈N*．

证明：（1）∵f₁（0）=2，∴a1＝
2−1
2+2＝
1
4，
∵f₂（x）=f₁[f₁（x）]=[2/3]，∴a2＝

2
3−1

2
3+2＝−
1
8，
∵f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]=[2
1+fn(0)，
∴an+1＝
fn+1(0)−1
fn+2(0)+2＝

2
1+fn(0)−1

2
1+fn(0)+2
=
1−fn(0)
4+2fn(0)=−
1/2•
fn(0)−1
fn(0)+2]=−
1
2an，
∴
an+1
an＝−
1
2，
∴数列{a_n}是首项为[1/4]，公比为-[1/2]的等比数列．
（2）由（1）知an＝
1
4(−
1
2)n−1，
T_2n=a₁+2a₂+3a₃+…+2na_2n，
−
1
2T_2n=（−
1
2）a₁+（−
1
2）2a₂+（−
1
2）3a₃+…+（−
1
2）2na_2n，
两式相减得：[3/2]T_2n=

1
4[1−(−
1
2)2n]
1+
1
2+n×
1
4(−
1
2)2n−1
∴T_2n=[1/9(1−
3n+1
22n)；
∴9T2n＝1−
3n+1
22n]，又Q_n=
4n2+n
4n2+4n+1=1−
3n+1
4n2+4n+1，
当n=1时，9T_2n＜Q_n；
当n=2时，9T_2n＜Q_n；
当n≥3时，2²ⁿ=[（1+1）ⁿ]²=
(c0n+
c1n+…+
cnn)2＞（2n+1）²，∴9T_2n＞Q_n．

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等比数列的性质．

考点点评： 本题化简很容易出错，要细致；第二问考查了错位相减法及比较大小的方法，属于难题．