已知A∈[0，2π]，且满足sin(2A+π6)+sin(2A−π6)+2cos2A≥2

解题思路：（1）由两角和与差的正弦公式，可得

3

sin2A+cos2A≥1，再利用辅助角公式化简得sin(2A+

π

6

)≥

1

2

，结合三角函数的图象与性质加以计算，即可得到角A的取值集合M；
（2）利用二倍角的余弦公式，化简得f（x）=-2sin²x+4ksinx+1，再令sinx=t（0≤t≤

3

2

）得到关于t的二次函数y=-2t²+4kt+1，结合二次函数的图象与性质，即可算出满足条件的实数k＝

1

2

．

解（1）∵sin(2A+
π
6)+sin(2A−
π
6)+2cos2A≥2
∴sin2Acos
π
6+cos2Asin
π
6+sin2Acos
π
6−cos2Asin
π
6+cos2A+1≥2…（1分）
可得
3sin2A+cos2A≥1，…（2分）
即sin(2A+
π
6)≥
1
2，…（3分）
因此2kπ+
π
6≤2A+
π
6≤2kπ+
5π
6，k∈Z，…（4分）
即kπ≤A≤kπ+
π
3，k∈Z，
结合A∈[0，2π]，得到角A的取值集合M＝[0，
π
3]…（6分）
（2）∵cos2x=1-2sin²x
∴f（x）=-2sin²x+4ksinx+1，
设sinx＝t∈[0，

3
2]
∴f（x）=-2t²+4kt+1，t∈[0，

3
2]，
二次函数图象的对称轴t=k＞0…（8分）
①当0＜k≤

3
2时，t=k时函数有最大值，f（k）=-2t²+4kt+1=[3/2]，解之得k＝
1

点评：
本题考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．

考点点评： 本题解一个关于角A的三角不等式，并依此解集作为函数的定义域来求函数的最大值，着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质和二次函数的性质等知识，属于中档题．