在学微分几何基础的时候有些疑问求助!

在学微分几何基础的时候有些疑问求助!
在导出密切平面方程的时候,将曲线上一点与其邻域的那个差向量用泰勒公式作了二阶展开,然后再与一阶导矢作差,得出二阶导矢也在密切平面上,但是如果同理,对一个C3类曲线作三阶泰勒展开,是不是可以得出其三阶导矢也在密切平面上?对于Cn类曲线,是不是其n阶导矢都在密切平面上?

**奶宝宝 1年前已收到1个回答举报

nieyumiao 花朵

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考察等速螺线：c(t)=( cos(t),sin(t),t )
T=c'(t)=( -sin(t),cos(t),1 )
N=c''(t)=( -cos(t),-sin(t),0 )
c'''(t)=(sin(t),-cos(t),0)
c'''(t)显然不在T,N张成的平面上.试着将它写成T,N的线性组合,就能得出矛盾.

1年前追问

**奶宝宝举报

对C3类曲线r（t）上的一点Pr（t0）及它邻域的一点Q（t0+Δt），向量PQ为r（t0+Δt）-r（t），对r（t0+Δt）用马克劳林公式展到三阶：r（t0+Δt）=r（t0）+r'（t0）Δt+r''（t0）Δt²/2+（r'''（t0）+ε）Δt³/6，则PQ为r'（t0）Δt+r''（t0）Δt²/2+（r'''（t0）+ε）Δt³/6，由于r''（t0）和r'（t0），PQ都在密切平面上，它们的线性组合消去r''（t0）和r'（t0）之后的部分r'''（t0）+ε不也在密切平面上？

举报 nieyumiao

何以PQ在密切平面？切向量r'在切平面上是对的，可是你这里的PQ并非切向量，而是割线。只要delta t 非0，它就还不是切线。

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