糖丝球 幼苗
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(1)∵f(x)=ax2-2lnx,x∈(0,e],
∴f′(x)=2ax-[2/x]=
2(ax2−1)
x,
当x=1时,f(x)取到极值,∴f′(1)=0,解得a=1;
当a=1时,f′(x)=
2(x2−1)
x在(0,1)上小于0,∴f(x)是减函数,
f′(x)=
2(x2−1)
x在(1,e]上大于0,∴f(x)是增函数,
∴f(1)是函数的极小值,此时a的值为1;
(2)∵f′(x)=2ax-[2/x]=
2(ax2−1)
x,x∈(0,e],
当a≤0时,f′(x)<0恒成立,∴f(x)在(0,e]上是减函数,∴(0,e]是单调减区间;
当a>0时,令f′(x)=0,则
2(ax2−1)
x=0,∴ax2-1=0,解得x=
1
a,
①若a>[1
e2,则f′(x)在(0,
1/a])上小于0,f(x)是减函数,∴(0,
1
a)是单调减区间;
f′(x)在(
1
a,e]上大于0,f(x)是增函数,∴(
1
a,e]是单调增区间;
②若a≤[1
e2,则f′(x)在(0,e]上小于0,f(x)是减函数,∴(0,e]是单调减区间;
综上,当a≤
1
e2时,(0,e]是f(x)的单调减区间;
当a>
1
e2时,(0,
1/a])是f(x)的单调减区间,(
1
a,e]是f(x)的单调增区间.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查了利用导数判定函数的单调性、求函数的极值问题,也考查了含有参数的不等式的解法问题,是较难的题目.
1年前
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