已知f(x)=ax2-2lnx,x∈(0,e],其中e是自然对数的底.

已知f(x)=ax2-2lnx,x∈(0,e],其中e是自然对数的底.
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间.
haiyangph 1年前 已收到1个回答 举报

糖丝球 幼苗

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解题思路:(1)当x=1时,f(x)取到极值,即f′(1)=0,从而求得a的值;
(2)求出f′(x),其中x∈(0,e],讨论f′(x)在a>0、a≤0时,是否大于0?小于0?从而确定f(x)的单调区间.

(1)∵f(x)=ax2-2lnx,x∈(0,e],
∴f′(x)=2ax-[2/x]=
2(ax2−1)
x,
当x=1时,f(x)取到极值,∴f′(1)=0,解得a=1;
当a=1时,f′(x)=
2(x2−1)
x在(0,1)上小于0,∴f(x)是减函数,
f′(x)=
2(x2−1)
x在(1,e]上大于0,∴f(x)是增函数,
∴f(1)是函数的极小值,此时a的值为1;
(2)∵f′(x)=2ax-[2/x]=
2(ax2−1)
x,x∈(0,e],
当a≤0时,f′(x)<0恒成立,∴f(x)在(0,e]上是减函数,∴(0,e]是单调减区间;
当a>0时,令f′(x)=0,则
2(ax2−1)
x=0,∴ax2-1=0,解得x=

1
a,
①若a>[1
e2,则f′(x)在(0,

1/a])上小于0,f(x)是减函数,∴(0,

1
a)是单调减区间;
f′(x)在(

1
a,e]上大于0,f(x)是增函数,∴(

1
a,e]是单调增区间;
②若a≤[1
e2,则f′(x)在(0,e]上小于0,f(x)是减函数,∴(0,e]是单调减区间;
综上,当a≤
1
e2时,(0,e]是f(x)的单调减区间;
当a>
1
e2时,(0,

1/a])是f(x)的单调减区间,(

1
a,e]是f(x)的单调增区间.

点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.

考点点评: 本题考查了利用导数判定函数的单调性、求函数的极值问题,也考查了含有参数的不等式的解法问题,是较难的题目.

1年前

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